
(24-25高一下·湖南长沙·期中)如图所示。半圆轨道BC竖直固定在水平地面上,AC是竖直直径,半径为R。B点与圆心O等高,轻质弹簧放置在水平地面上,左端固定在距A点足够远的地方。控制质量为m的小球(视为质点)向左压缩弹簧至E点(未画出),由静止释放小球。设重力加速度为g,不计一切摩擦和空气阻力。
(1)若小球运动到C点时所受轨道的弹力大小等于小球重力的2倍,求小球经过C点的速度大小;
(2)改变初始时弹簧的压缩量,若小球在半圆轨道ABC运动时不会脱轨(在末端C点飞出不算脱轨)。求初始时弹簧弹性势能的取值范围;
(3)若空气阻力不可忽略,且小球所受阻力大小与其速率成正比,即f=kv。k为已知常数。若小球恰好通过C点。之后小球从C点水平飞出,经过时间t从C点落到水平地面,测得落地点离C点的水平距离为x,求小球从C点落到水平地面过程中克服空气阻力做的功。(用m、R、g、k、t、x表示结果,表达式合理即可。不需展开化简)
【答案】(1)
(2)或
(3)
【知识点】应用动能定理解多段过程问题
【详解】(1)在C点,由牛顿第二定律有
解得C点的速度大小为
(2)若小球刚好能经过圆弧轨道的最高点C,由重力提供向心力有
根据动能定理有
解得
若小球刚好能运动到圆弧轨道圆心O等高处,根据动能定理有
解得
综上或
(3)水平方向,
整理可得
同理,在竖直方向有
整理可得
设落地时速度为
由动能定理有
解得
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