（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系
横轴下方一矩形区域及横轴上方一半圆形（圆心在
轴上）区域内，存在垂直纸面向里、磁感应强度大小相同的匀强磁场（图中未画出）。点
处的粒子源沿与
轴负方向成
角斜向下发射一带电荷量为
、质量为
、速率为
的粒子，粒子经过矩形磁场后，垂直横轴经过坐标原点进入两极板分别为M、N的圆弧形电容器，在电场和磁场的共同作用下，沿两极板间的中心线做匀速圆周运动，并以圆周运动的形式回到横轴。已知横轴上方半圆形磁场区域的圆心恰好与粒子经过矩形磁场区域时运动轨迹的圆心重合，圆弧形电容器的中心线对应的圆心在
点，对应的圆心角为
），不计粒子受到的重力，忽略电容器的边缘效应，求：
（1）矩形磁场区域的面积最小值；
（2）圆弧形电容器中心线处的电场强度大小
；
（3）半圆形磁场区域的最小半径
。
【答案】 （1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）设粒子在矩形磁场中运动的轨道半径为
，当粒子的运动轨迹和矩形的边相切时，面积最小，如图所示，有
解得
（2）粒子在圆弧形电容器中做匀速圆周运动，设匀强磁场的磁感应强度大小为
，有
解得
（3）根据图中几何关系有
解得
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